วันอังคารที่ 10 มกราคม พ.ศ. 2555

ประวัติคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ลิงก์ข้ามภาษาในบทความนี้ มีไว้เพื่อความสะดวกในการศึกษาเพิ่มเติมของผู้อ่านและผู้ร่วมแก้ไขบทความ เนื่องจากคำดังกล่าวยังไม่มีบทความในภาษาไทย ป้ายนี้จะถูกนำออกเมื่อมีเนื้อหาพอสมควรแล้ว

บทความนี้ได้รับแจ้งให้ปรับปรุงตามด้านล่าง กรุณาช่วยปรับปรุงบทความ หรือเสนอแนะที่หน้าอภิปราย

บทความนี้ต้องการการจัดรูปแบบข้อความ การจัดหน้า การแบ่งหัวข้อ การจัดลิงก์ภายใน และอื่น ๆ
บทความนี้ยังขาดหรือต้องการแหล่งอ้างอิงเพิ่ม

ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ในสมัย 300 ปีก่อนคริสตกาล ภาพวาดของราฟาเอลในชื่อโรงเรียนแห่งเอเธนส์

คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับ โครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง, และปริภูมิ กล่าวคร่าวๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์

คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ. คำนี้ตรงกับคำภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคำภาษากรีก μάθημα (máthema) แปลว่า "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน" และคำว่า μαθηματικός (mathematikós) แปลว่า "รักที่จะเรียนรู้". ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math ส่วนประเทศอื่นๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths
ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ ผ่านทางการวิจัยและการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การคิดค้นทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีเป้าหมายอยู่ที่การนำไปใช้ทางวิทยาศาสตร์ (ดู คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์)
โครงสร้างต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น มักจะมีต้นกำเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์. ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย
เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้กิจกรรมทุกอย่างกระทำผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยำและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง สำหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม. ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ จากโลกภายนอก. นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน
นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทำงานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนำไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematician's Apology) ; แรงผลักดันในการทำงานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้. อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา
องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ สถิติศาสตร์ และแคลคูลัส เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่นๆ

ที่มาจาก http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C

ตัวหารร่วมมาก

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา

บทความนี้ไม่มีการอ้างอิงจากเอกสารอ้างอิงหรือแหล่งข้อมูล โปรดช่วยพัฒนาบทความนี้โดยเพิ่มแหล่งข้อมูลน่าเชื่อถือ เนื้อหาที่ไม่มีการอ้างอิงอาจถูกคัดค้านหรือนำออก

ในคณิตศาสตร์ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. (อังกฤษ: greatest common divisor: gcd) ของจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่งไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนลงตัว
ตัวหารร่วมมากของ a และ b เขียนแทนด้วย gcd (a, b) หรือบางครั้งเขียนว่า (a, b) เช่น gcd (12, 18) = 6, gcd (−4, 14) = 2 และ gcd (5, 0) = 5 จำนวนสองจำนวนจะถูกเรียกว่า จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ถ้าตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 เช่น 9 และ 28 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
ตัวหารร่วมมากมีประโยชน์ในการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ดังตัวอย่างนี้

${42\over56}={3\cdot14\over4\cdot14}={3\over4}$

ซึ่งเราตัดตัวหารร่วมมากของ 42 และ 56 คือ 14 ออก
การหา ห.ร.ม.
การหาตัวหารร่วมมาก ทำได้ด้วยการแยกตัวประกอบของจำนวนสองจำนวน และเปรียบเทียบตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น gcd (18,84) เราจะแยกตัวประกอบ 18 = 2·3² และ 84 = 2²·3·7 สังเกตว่านิพจน์ที่"ซ้อน"กันคือ 2·3 ดังนั้น gcd (18,84) = 6 ในทางปฏิบัติ วิธีนี้จะทำได้สำหรับจำนวนที่น้อยๆเท่านั้น เพราะการแยกตัวประกอบโดยทั่วไปนั้นจะยาวเกินไป
วิธีที่มีประสิทธิภาพกว่าคือ อัลกอริทึมของยุคลิด: หาร 84 ด้วย 18 จะได้ผลหารเท่ากับ 4 และเศษเหลือเท่ากับ 12 จากนั้นหาร 18 ด้วย 12 จะได้ผลหารเท่ากับ 1 และเศษเหลือเท่ากับ 6 จากนั้นหาร 12 ด้วย 6 จะได้เศษเหลือเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า 6 เป็น ห.ร.ม.

[แก้] คุณสมบัติ

ตัวหารร่วมของ a และ b จะเป็นตัวหารของ gcd (a, b)
gcd (a, b) เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จะเป็นจำนวนเต็มบวก d ที่น้อยที่สุดที่สามารถเขียนในรูป d = a·p + b·q เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเต็ม จำนวน p และ q สามารถคำนวณได้จากอัลกอริทึมของยุคลิดเพิ่มเติม
ถ้า a หาร b·c ลงตัว และ gcd (a, b) = d แล้ว a/d หาร c ลงตัว
ถ้า m เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว gcd (m·a, m·b) = m·gcd (a, b) และ gcd (a + m·b, b) = gcd (a, b) ถ้า m เป็นตัวหารร่วมของ a และ b แล้ว gcd (a/m, b/m) = gcd (a, b) /m
ห.ร.ม.เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ กล่าวคือ ถ้า a₁ และ a₂ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว gcd (a₁·a₂, b) = gcd (a₁, b) ·gcd (a₂, b)
ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b) , c) = gcd (a, gcd (b, c)) นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่
gcd (a, b) นั้นมีความเกี่ยวข้องกับตัวคูณร่วมน้อย lcm (a, b) : จะได้ว่า

gcd (a, b) ·lcm (a, b) = a·b.

สูตรนี้มักถูกใช้เพื่อคำนวณค่าคูณร่วมน้อย โดยเริ่มด้วยการหา ห.ร.ม. โดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิด จากนั้นหารผลคูณของตัวเลขทั้งสองด้วย ห.ร.ม. คุณสมบัติการกระจายด้านล่างนี้เป็นจริง:

gcd (a, lcm (b, c)) = lcm (gcd (a, b) , gcd (a, c))

lcm (a, gcd (b, c)) = gcd (lcm (a, b) , lcm (a, c)).

การนิยามให้ gcd (0, 0) = 0 และ lcm (0, 0) = 0 นั้นมีประโยชน์เนื่องจากจะทำให้เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นแลตทิซแบบกระจายที่บริบูรณ์ โดยที่ ห.ร.ม. เป็นการดำเนินการ meet และ ค.ร.น. เป็นการดำเนินการ join การขยายนิยามนี้สอดคล้องกับนัยทั่วไปของนิยามสำหรับริงสลับที่ด้านล่าง
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน gcd (a, b) สามารถตีความว่าเป็นจำนวนของจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มบนเส้นตรงที่เชื่อมจุด (0, 0) และจุด (a, b) โดยที่ไม่นับจุด (0, 0)

[แก้] ห.ร.ม. ในริงสลับที่

ห.ร.ม. สามารถนิยามให้กว้างขึ้นสำหรับสมาชิกของริงสลับที่
ถ้า R เป็นริงสลับที่ และให้ a และ b อยู่ใน R จะเรียกสมาชิก d ที่อยู่ใน R ว่า ตัวหารร่วมของ a และ b ถ้ามันหาร a และ b ลงตัว (กล่าวคือ ถ้ามีสมาชิก x และ y ใน R ที่ทำให้ d·x = a และ d·y = b) ถ้า d เป็นตัวหารร่วมของ a และ b และตัวหารร่วมทุกตัวของ a และ b หาร d ลงตัว จะเรียก d ว่าเป็น ตัวหารร่วมมากของ a และ b
สังเกตว่าจากนิยามนี้ สมาชิก a และ b อาจมี ห.ร.ม. หลายค่า หรือไม่มี ห.ร.ม. เลย แต่ถ้า R เป็นโดเมนจำนวนเต็ม (integral domain) แล้ว ห.ร.ม. สองตัวใด ๆ ของ a และ b ต้องเป็นสมาชิก associate ถ้า R เป็นโดเมน unique factorization แล้ว สมาชิกใด ๆ สองสมาชิกจะมี ห.ร.ม. เสมอ และถ้า R เป็นโดเมนยุคลิเดียน (Euclidean domain) แล้ว อัลกอริทึมของยุคลิดสามารถปรับใช้หา ห.ร.ม. ได้
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของโดเมนจำนวนเต็มซึ่งสองสมาชิกไม่มี ห.ร.ม.

$R = \mathbb{Z}[\sqrt{-3}],\quad a = 4 = 2\cdot 2 = (1+\sqrt{-3}) (1-\sqrt{-3}) ,\quad b = (1+\sqrt{-3}) \cdot 2$

สมาชิก $1+\sqrt{-3}$ และ

2

คือ "ตัวหารร่วม maximal" (กล่าวคือ ตัวหารร่วมใด ๆ ที่เป็นจำนวนเท่าของ 2 จะ associate กับ 2 สำหรับ $1+\sqrt{-3}$ ก็มีคุณสมบัติเช่นเดียวกัน) แต่ค่าทั้งสองนี้ไม่ associate กัน ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าไม่มี ห.ร.ม. ของ a และ b
ที่มาจาก http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%A1%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%81

ตัวคูณร่วมน้อย.

ตัวคูณร่วมน้อย

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา

ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. (อังกฤษ: least common multiple: lcm) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งนำไปหารด้วยจำนวนเต็มบวกอื่นๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป แล้วจะได้ผลลัพธ์ลงตัวพอดี หรือกล่าวอีกนัยนึง คือ เมื่อเรามีจำนวนตัวเลขอยู่กลุ่มหนึง เราต้องการหาจำนวนเต็มบวกใดๆที่น้อยที่สุด โดยที่ตัวเลขทุกตัวในกลุ่มสามารถหารจำนวนนี้ได้ลงตัว ประโยชน์ในการใช้ เช่น เวลาบวกเลขเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากัน เราจำเป็นต้องหา ค.ร.น ของตัวส่วนทั้งสอง เพื่อปรับเลขเศษส่วนโดยการคูณทั้งเศษและส่วน และทำเหมือนกันกับเลขเศษส่วนอีกตัวนึง เพื่อให้ตัวส่วนของจำนวนทั้งสองมีค่าเท่ากัน จึงจะสามารถบวกตัวเศษกันได้ อย่างเช่น 2/12 + 1/16 , ค.ร.น ของ 12 และ 16 = 48 เท่ากับว่า ตัวแรกต้องคูณด้วย 48/12 = 4 ทั้งเศษและส่วน และตัวที่สองต้องคูณด้วย 48/16 = 3 ทั้งเศษและส่วน ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณการบวกของเลขเศษส่วนได้ดังนี้ (2/12) * (4/4) + (1/16) * (3/3) = 8/48 + 3/48 = 11/48
การหา ค.ร.น.
ทำได้หลายวิธี ในที่นี้จะเน้นกล่าว 3 วิธีหลักๆที่เป็นที่นิยม

[แก้] วิธีที่ 1 โดยการพิจารณาพหุคูณ

เช่น เราต้องการ ค.ร.น. ของ 6 , 9 และ 18
วิธีทำ พิจารณา พหุคูณ ของ 6,9 และ 18 ได้ดังนี้

พหุคูณของ 6 คือ 6,12,18,24,30,36,...

 พหุคูณของ 9 คือ 9,18,27,36,45,54,...

 พหุคูณของ 18 คือ 18,36,54,72,90,...

พหุคูณร่วมของ 6,9,18 คือ 18 และ 36

พหุคูณร่วมน้อยที่สุดของ 6,9,18 คือ 18

ดังนั้น 18 จึงเป็น ค.ร.น. ของ 6,9 และ 18

[แก้] วิธีที่ 2 แยกตัวประกอบ

เช่น เราต้องการหา ค.ร.น ของ 18 24 210

ให้กระจายตัวประกอบออกมา

18 = 2x3x3

24 = 2x3x2x2

210 = 2x3x5x7

จากข้างบน ทั้ง 3 บรรทัด มี 2 เหมือนกัน อยู่ 1 ตัว (ลองเขียนในกระดาษแล้ววาดวงกลมล้อมคอลัมน์แรก (แถวแรกในแนวตั้ง)) และก็มี 3 เหมือนกัน อยู่อีก 1 ตัว (คอลัมน์ที่ 2) หยิบมาคูณกัน

2x3 = 6

นำตัวเลขที่เหลือ (ที่ไม่ได้วงกลม ในกรณีที่วาดในกระดาษตามที่แนะนำ) มาคูณต่อ ได้คำตอบของ ค.ร.น

6 (จากขั้นตอนที่แล้ว) x3x2x2x5x7 = 2520

การหา ค.ร.น. จะต้องเอาเลขที่แตกต่างจากพวกมากที่สุดไว้หน้า เช่น 12 = 3x2x2

[แก้] วิธีที่ 3 การหารสั้น

วิธีนี้ เป็นวิธีที่ง่าย เพราะบางครั้งการแยกตัวประกอบ ค่อนข้างจะคำนวณยาก โดยเฉพาะผู้ที่เพิ่งเริ่มศึกษา

นำมาเขียนเรียงกัน โดยเว้นวรรคระหว่างจำนวนด้วย 18 24 210
ลองไล่เอา 2 หารดูว่าลงตัวทั้งหมดไหม ถ้าไม่ลงตัว ก็เปลี่ยนเป็น 3 ลองหารทั้งหมดดู ถ้าไม่ลงตัว ก็ลองใช้ 5 ลองหารดู โดยมีวิธีไล่ลำดับตัวเลขที่ใช้จากจำนวนเฉพาะ

2,3,5,7,11,13,17,19,...

ทำซ้ำกับผลหารที่ได้จากข้อที่แล้ว ไปเรื่อยๆ จนไม่สามารถหารจำนวนเฉพาะมาหารได้ลงตัวอีกต่อไป
เอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ

ดูตัวอย่างประกอบ

2  ) 18 24 210
   ---------------  
     9  12 105

ลอง 2 หารอีก

2  )  9   12 105
   ----------------
     4.5  6  52.5

จะเห็นว่าหารไม่ลงตัว เพราะหารได้ผลติดทศนิยม เปลี่ยนเลขเป็นจำนวนเฉพาะถัดไป ได้แก่ 3

3 ) 9 12 105

----------------
      3   4   35

ถึงตรงนี้ เราจะไม่สามารถหาจำนวนเฉพาะใดๆเพื่อมาหารได้อีกต่อไป เราจึงนำเอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ

2x3x3x4x35 = 2520

อธิบายซ้ำ : เราสามารถเขียนภาพรวมได้ดังนี้

2  ) 18 24 210
   --------------      
3  ) 9  12 105
   --------------
     3   4  35

2x3x3x4x35 = 2520
นอกจาก 2 วิธีที่แนะนำไปแล้ว ยังสามารถทำวิธีอื่นๆ อย่างเช่น ลองไล่สูตรคูณของกลุ่มตัวเลขที่เราต้องการหา แล้วหยิบตัวเลขที่น้อยที่สุดที่มีเหมือนกันในผลสูตรคูณของตัวเลขทั้งหมดนั้น
เช่นหา ค.ร.น. ของ 12 และ 16 โดยเลือกจากจำนวนที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ

จำนวนนับที่มี 12 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ (12*1), (12*2), (12*3),… = 12,24,36,48,60…
จำนวนนับที่มี 16 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ (16*1), (16*2), (16*3),… = 16,32,48,64,80…

48 เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 16 คือ 48
ที่มาจาก http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93%E0%B8%A3%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%A2

การหาร

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา

การหาร (อังกฤษ: division) ในทางคณิตศาสตร์ คือ การดำเนินการเลขคณิตที่เป็นการดำเนินการผันกลับของการคูณ และบางครั้งอาจมองได้ว่าเป็นการทำซ้ำการลบ พูดง่ายๆ คือการแบ่งออกหรือเอาเอาออกเท่าๆ กัน จนกระทั่งตัวหารเหลือศูนย์ (หารลงตัว)
ถ้า

a × b = c,

เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 แล้ว

a = c ÷ b

(อ่านว่า "c หารด้วย b") ตัวอย่างเช่น 6 ÷ 3 = 2 เพราะว่า 2 × 3 = 6
ในนิพจน์ข้างบน a คือ ผลหาร, b คือ ตัวหาร และ c คือ ตัวตั้งหาร
นิพจน์ c ÷ b มักเขียนแทนด้วย "c/b" โดยเฉพาะในคณิตศาสตร์ขั้นสูง (รวมถึงการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม) และในภาษาโปรแกรม การเขียนแบบนี้ มักใช้แทนเศษส่วน ซึ่งยังไม่ต้องการหาค่า
ในภาษาอื่นๆ ที่ไม่ใช่ภาษาอังกฤษ c ÷ b มักเขียนว่า c : b ซึ่งในภาษาอังกฤษ จะใช้เครื่องหมายทวิภาค (:) เมื่อมันเกี่ยวข้องกับสัดส่วน
สำหรับการหารด้วยศูนย์นั้น ไม่นิยาม

[แก้] การหารจำนวนจริง

การหารจำนวนจริงสองจำนวน จะให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง เมื่อตัวหารไม่เท่ากับ 0. นิยามว่า a/b = c ก็ต่อเมื่อ a = cb และ b ≠ 0

การหารยาว

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา

การหารยาว คือกระบวนการอย่างหนึ่งเพื่อคำนวณการหาร โดยมีจำนวนเต็มเป็นตัวตั้งหาร (dividend) และจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่งเป็นตัวหาร (dividor) เพื่อที่จะให้ได้ผลหาร (quotient) พร้อมเศษเหลือจากการหาร (remainder) การหารยาวจำเป็นต้องเตรียมเนื้อที่สำหรับเขียนจำนวนพอสมควร และเป็นวิธีการหารที่ง่ายถึงแม้ตัวตั้งหารเป็นจำนวนขนาดใหญ่ เนื่องจากกระบวนการนี้จะแบ่งตัวตั้งหารออกเป็นจำนวนย่อยๆ ที่เล็กลงสำหรับการหาร
ตัวอย่างสัญกรณ์ที่ใช้ การหาร 500 ด้วย 4 ซึ่งได้คำตอบเป็น 125 สามารถเขียนในรูปแบบดังนี้

$\begin{matrix} \quad 125\\ 4\overline{) 500}\\ \end{matrix}$

[แก้] ตัวอย่าง

ในการหารยาวมีขั้นตอนหลายอย่างที่ต้องทำตามลำดับ ยกตัวอย่างจากโจทย์การหาร 950 ด้วย 4
1. อันดับแรก เขียนตัวตั้งและตัวหารให้อยู่ในรูปแบบนี้

$4 \overline{) 950} \$

กระบวนการนี้จะเป็นการหารจำนวนในแต่ละหลักของตัวตั้ง (950) ด้วยตัวหาร (4)
2. ตัวเลขในหลักแรกทางซ้ายมือ (9) จะถูกหารด้วยตัวหาร (4) เขียนผลหารที่เป็นจำนวนเต็มไว้เหนือหลักที่หาร (2) โดยไม่ต้องสนใจเศษเหลือ จากนั้นให้คูณตัวหารกับผลหารดังกล่าว (4 × 2 = 8) ใส่ไว้ใต้ตัวตั้งหารในหลักที่ตรงกัน

$\begin{matrix} 2\\ 4\overline{)950}\\ 8 \end{matrix}$

3. ลบตัวเลขด้านล่าง (8) ด้วยตัวเลขด้านบนที่อยู่ติดกัน (9) ใส่คำตอบ (1) ไว้ใต้ตัวเลขด้านล่าง (8) จากนั้นให้ดึงตัวตั้งหารในหลักถัดไปลงมา (5) ใส่ไว้ทางขวาของผลลบนั้น

$\begin{matrix} 2\\ 4\overline{)950}\\ \underline{8}\\ \;\,15 \end{matrix}$

4. ทำขั้นตอนที่ 2 และ 3 ซ้ำโดยใช้จำนวนใหม่ที่อยู่ล่างสุดเป็นตัวตั้งหาร (15) หารด้วยตัวหารตัวเดิม (4) และเขียนผลหารไว้ข้างบน เขียนผลคูณระหว่างผลหารกับตัวหารไว้ข้างล่าง

$\begin{matrix} \,\,23\\ 4\overline{)950}\\ \underline{8}\\ \;\,15\\ \ \underline{12}\\ \quad\;\,30 \end{matrix}$

5. ทำขั้นตอนที่ 4 ซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะครบทุกหลักของตัวตั้งหาร จำนวนที่อยู่เหนือขีดคือผลหาร (237) และจำนวนที่เกิดจากผลลบตัวสุดท้ายจะเป็นเศษเหลือ (2)

$\begin{matrix} \quad 237\\ 4\overline{)950}\\ \underline{8}\\ \;\,15\\ \ \underline{12}\\ \quad\;\,30\\ \quad\;\,\underline{28}\\ \qquad 2 \end{matrix}$

ดังนั้นคำตอบของโจทย์ข้างต้นคือ 237 เศษ 2 ในอีกทางหนึ่งเรายังสามารถหารต่อไปได้อีกเพื่อให้ได้คำตอบเป็นทศนิยม โดยการใส่จุดทศนิยมและเติมศูนย์เท่าที่ต้องการทางด้านขวาของตัวตั้งหาร แล้วนับเลขศูนย์นั้นเป็นตัวตั้งหารอีกหลักหนึ่ง ดังนั้นขั้นตอนต่อไปของโจทย์เดิมทำได้ดังนี้

$\begin{matrix} \quad 237.5\\ 4\overline{)950.0}\\ \!\!\!\!\!\underline{8}\\ \!\!15\\ \!\!\underline{12}\\ \ \;\,30\\ \ \;\,\underline{28}\\ \quad\ \;\,20\\ \quad\ \;\,\underline{20}\\ \qquad\ 0 \end{matrix}$

ที่มาจาก http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%A7

การคูณ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา

"คูณ" เปลี่ยนทางมาที่นี่ บทความนี้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ สำหรับพระสงฆ์ ดูที่ พระเทพวิทยาคม (คูณ ปริสุทโธ)

ลูกบอลวางแถวละ 4 ลูก จำนวน 3 แถว จึงมีลูกบอลทั้งหมด 12 ลูก นั่นคือ 3 × 4 = 12

การคูณ คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ทำให้เกิดการเพิ่มหรือลดจำนวนจำนวนหนึ่งเป็นอัตรา การคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการพื้นฐานของเลขคณิตมูลฐาน (การดำเนินการอย่างอื่นได้แก่ การบวก การลบ และการหาร)
การคูณสามารถนิยามบนจำนวนธรรมชาติว่าเป็นการบวกที่ซ้ำๆ กัน ตัวอย่างเช่น 4 คูณด้วย 3 (หรือเรียกโดยย่อว่า 4 คูณ 3) หมายถึงการบวกจำนวน 4 เข้าไป 3 ชุด ดังนี้

$4 + 4 + 4 = 12\,\!$

สำหรับการคูณของจำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) และจำนวนจริง ก็นิยามโดยกรณีทั่วไปที่เป็นระบบของแนวความคิดพื้นฐานดังกล่าว
การคูณอาจมองได้จากการนับวัตถุที่จัดเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (สำหรับจำนวนธรรมชาติ) หรือการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยการหนดความยาวของด้านมาให้ (สำหรับจำนวนทั่วไป) ส่วนกลับของการคูณคือการหาร ในเมื่อ 4 คูณด้วย 3 เท่ากับ 12 ดังนั้น 12 หารด้วย 3 ก็จะเท่ากับ 4 เป็นต้น
การคูณสามารถนิยามให้ขยายไปบนจำนวนชนิดอื่นเช่นจำนวนเชิงซ้อน และมีโครงสร้างที่เป็นนามธรรมมากขึ้นเช่นเมทริกซ์
สัญกรณ์และคำศัพท์เฉพาะทาง

เครื่องหมายคูณ ลักษณะคล้ายกากบาท

โดยทั่วไปการคูณสามารถเขียนโดยใช้เครื่องหมายคูณ (×) ระหว่างจำนวนทั้งสอง (ในรูปแบบสัญกรณ์เติมกลาง) ตัวอย่างเช่น

$2 \times 3 = 6$ (อ่านว่า 2 คูณ 3 เท่ากับ 6)

$3 \times 4 = 12$

$2 \times 3 \times 5 = 6 \times 5 = 30$

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

อย่างไรก็ตามก็ยังมีการใช้สัญกรณ์อื่นๆ แทนการคูณโดยทั่วไป อาทิ

ใช้จุดกลาง (·) หรือไม่ก็มหัพภาค (.) อย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น 5 · 2 หรือ 5 . 2 การใช้จุดกลางเป็นมาตรฐานในสหรัฐอเมริกา สหราชอาณาจักร และประเทศอื่นๆ ที่ใช้มหัพภาคเป็นจุดทศนิยม แต่ในบางประเทศที่ใช้จุลภาคเป็นจุดทศนิยม จะใช้มหัพภาคเป็นการคูณแทน
ใช้ดอกจัน (*) เช่น 5*2 มักใช้ในภาษาโปรแกรมเพราะเครื่องหมายนี้ปรากฏอยู่บนทุกแป้นพิมพ์ และสามารถดูได้ง่ายบนจอมอนิเตอร์รุ่นเก่า การใช้เครื่องหมายนี้แทนการคูณเริ่มมีขึ้นตั้งแต่ภาษาฟอร์แทรน
ในพีชคณิต การคูณที่เกี่ยวกับตัวแปรมักจะเขียนให้อยู่ติดกัน เรียกว่า juxtaposition ตัวอย่างเช่น xy หมายถึง x คูณ y และ 5x หมายถึง 5 คูณ x เป็นต้น สัญกรณ์เช่นนี้สามารถใช้กับจำนวนที่ครอบด้วยวงเล็บ เช่น $5(2)$ หรือ $(5)(2)$ ก็จะหมายถึง 5 คูณ 2
ในการคูณเมทริกซ์ มีความแตกต่างระหว่างการใช้สัญลักษณ์กากบาทกับจุด กากบาทใช้แทนการคูณเวกเตอร์ ในขณะที่จุดใช้แทนการคูณสเกลาร์ ดังนั้นการตั้งชื่อเรียกจึงแตกต่างกันคือผลคูณไขว้และผลคูณจุดตามลำดับ

จำนวนที่ถูกคูณโดยทั่วไปเรียกว่า ตัวประกอบ (factor) หรือ ตัวตั้งคูณ (multiplicand) ส่วนจำนวนที่นำมาคูณเรียกว่า ตัวคูณ (multiplier) ตัวคูณของตัวแปรหรือนิพจน์ในพีชคณิตจะเรียกว่า สัมประสิทธิ์ (coefficient) ซึ่งจะเขียนไว้ทางซ้ายของตัวแปรหรือนิพจน์ เช่น 3 เป็นสัมประสิทธิ์ของ 3xy²
ผลลัพธ์ที่เกิดจากการคูณเรียกว่า ผลคูณ (product) หรือเรียกว่า พหุคูณ (multiple) ของตัวประกอบแต่ละตัวที่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น 15 คือผลคูณของ 3 กับ 5 และในขณะเดียวกัน 15 ก็เป็นทั้งพหุคูณของ 3 และพหุคูณของ 5 ด้วย

[แก้] ผลคูณของลำดับ

ถ้าพจน์แต่ละพจน์ของผลคูณไม่ได้เขียนออกมาทั้งหมด เราอาจจะใช้เครื่องหมายจุดไข่ปลาแทนพจน์ที่หายไป เช่นเดียวกับการดำเนินการอื่นๆ (เช่น การบวก) เช่น ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ ตั้งแต่ 1-100 อาจเขียน $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$ . และสามารถเขียนให้เครื่องหมายจุดไข่ปลาอยู่บริเวณกึ่งกลางแนวตั้งของแถวได้อีกด้วย คือ $1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100$ .
นอกจากนี้แล้ว ผลคูณยังสามารถเขียนได้ด้วยเครื่องหมายผลคูณ ซึ่งมาจาก อักษร Π (Pi) ตัวใหญ่ ในอักษรกรีก. ตัวอย่างเช่น

$\prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}.$

ตัวห้อยของประโยคสัญลักษณ์ข้างต้นแทนตัวแปรหุ่น (สำหรับประโยคนี้คือ

i

) และขอบเขตล่าง (

m

); ตัวยกแทนขอบเขตบน (

n

) เช่น

$\prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}.$

เรายังสามารถหาผลคูณที่มีพจน์เป็นอนันต์ได้อีกด้วย เรียกว่าผลคูณอนันต์ ในการเขียน เราจะแทนที่ n ด้านบนด้วยเครื่องหมายอนันต์ (∞). ผลคูณของพจน์จะกำหนดด้วยขีดจำกัดของผลคูณของ

n

พจน์แรก โดย

n

เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต เช่น

$\prod_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}$

นอกจากนี้ยังสามารถแทน

m

ด้วยจำนวนลบอนันต์

$\prod_{i=-\infty}^\infty x_i := \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=-n}^m x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=m+1}^n x_i\right),$

และสำหรับจำนวนเต็ม

m

บางจำนวน สามารถกำหนดได้ทั้งอนันต์และลบอนันต์

[แก้] นิยาม

สำหรับความหมายของการคูณ ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ n และ m ใดๆ

$mn := \sum_{k=1}^n m$

กล่าวสั้นๆ คือ 'บวก m เข้ากับตัวเอง n ตัว' สามารถเขียนได้ในลักษณะนี้เพื่อให้ชัดเจนมากขึ้น

m × n = m + m + m + ... + m

หมายถึงมีจำนวน 'm' n ตัวบวกกันนั่นเอง

5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
2 × 5 = 5 + 5 = 10
4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
m × 6 = m + m + m + m + m + m

โดยใช้นิยาม เราสามารถพิสูจน์สมบัติของการคูณได้โดยง่ายดาย โดยดูจากสองตัวอย่างข้างต้น เรามีสมบัติว่า จำนวนสองจำนวนที่คูณกันสามารถสลับที่กันได้โดยผลคูณยังคงเดิม เราเรียกสมบัตินี้ว่า สมบัติการสลับที่ และ สมบัตินี้เป็นจริงสำหรับจำนวน x และ y ใดๆ นั่นคือ

x · y = y · x.

นอกจากนี้ การคูณยังมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่อีกด้วย ความหมายสำหรับจำนวน x,y และ z ใดๆ คือ

(x · y)z = x(y · z).

หมายเหตุจากพีชคณิต: เครื่องหมายวงเล็บ หมายถึง การดำเนินภายในวงเล็บจะต้องกระทำก่อนการดำเนินการภายนอกวงเล็บ
การคูณมีสมบัติการแจกแจง เพราะ

x(y + z) = xy + xz.

มีสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับการคูณกับ 1 นั่นคือ

1 · x = x.

เราเรียก 1 ว่า จำนวนเอกลักษณ์
สำหรับเลข 0 เราจะได้

m · 0 = m + m + m +...+ m

เมื่อเรานำ '0' m ตัวมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมเป็นศูนย์ นั่นคือ

m · 0 = 0

ไม่ว่า m จะเป็นจำนวนใด (แม้กระทั่งอนันต์).
การคูณกับจำนวนลบอาจจะต้องมีการคิดเล็กน้อย เริ่มจากการคูณ (−1) กับจำนวนเต็ม m ใดๆ

(−1)m = (−1) + (−1) +...+ (−1) = −m

นี่เป็นความจริงที่น่าสนใจว่า จำนวนลบ คือ จำนวนลบหนึ่ง คูณกับจำนวนบวกนั่นเอง เพราะฉะนั้นผลคูณระหว่างจำนวนบวกกับจำนวนลบทำได้โดยการคูณปกติ แล้วคูณด้วย (−1)

(−1)(−1) = −(−1) = 1

ในขณะนี้ เราสามารถสรุปการคูณระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนใดๆ ได้แล้ว และนิยามนี้ยังขยายไปสำหรับเซตของเศษส่วน หรือ จำนวนตรรกยะ และขยายไปถึงจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน
หลายคนอาจสงสัยถ้าบอกว่า ผลคูณของ'ไร้จำนวน' คือ 1
รูปแบบนิยามเรียกซ้ำของการคูณเป็นไปตามกฎ

x · 0 = 0

x · y = x + x·(y − 1)

เมื่อ x เป็นจำนวนจริง และ y เป็นจำนวนธรรมชาติ เมื่อเรากำหนดนิยามของการคูณจำนวนธรรมชาติแล้ว เรายังขยายผลไปถึงจำนวนเต็ม จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนได้

[แก้] การคำนวณ

วิธีการคูณจำนวนโดยการทดลงกระดาษตามปกติ จำเป็นต้องใช้สูตรคูณที่ท่องจำ ซึ่งเป็นผลคูณของเลข 1−2 หลัก เพื่อให้สามารถตั้งคูณได้ แต่สำหรับวิธีการแบบชาวอียิปต์โบราณไม่เป็นเช่นนั้น ดังที่จะได้กล่าวต่อไป
การคูณจำนวนมากกว่าสองจำนวนบนเลขฐานสิบอาจทำให้เกิดความเบื่อหน่าย และก่อให้เกิดความผิดพลาดได้ง่าย จึงมีการคิดค้นลอการิทึมสามัญ (ลอการิทึมฐานสิบ) เพื่อทำให้คำนวณง่ายขึ้น นอกจากนั้นสไลด์รูลก็เป็นเครื่องมือช่วยคูณจำนวนอย่างรวดเร็ว และได้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำประมาณสามหลัก และตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 ก็มีการประดิษฐ์เครื่องคิดเลขเชิงกล ซึ่งสามารถคูณเลขได้โดยอัตโนมัติถึง 10 หลัก ปัจจุบันนี้ใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์แทน ซึ่งสามารถช่วยประหยัดเวลาการคูณเลขไปได้อย่างมาก

[แก้] ขั้นตอนวิธีในประวัติศาสตร์

วิธีการคูณหลายวิธีมีการบันทึกไว้เป็นลายลักษณ์อักษรโดยอารยธรรมอียิปต์ กรีซ บาบิโลเนีย ลุ่มแม่น้ำสินธุ และจีน

[แก้] อียิปต์

ดูบทความหลักที่ การคูณแบบอียิปต์โบราณ

วิธีการคูณจำนวนเต็มและเศษส่วนของชาวอียิปต์โบราณ ดังเช่นที่ระบุไว้ใน Ahmes Papyrus เป็นการบวกต่อเนื่องกันและการเพิ่มค่าเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น การหาผลคูณของ 13 กับ 21 ก่อนอื่นจะต้องเพิ่มค่า 21 เป็นสองเท่า 3 ครั้ง ซึ่งจะได้ 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168 จากนั้นจึงรวมพจน์ที่เหมาะสมเข้าด้วยกันจนได้ผลคูณ นั่นคือ
13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273

[แก้] บาลิโลเนีย

เนื่องจากชาวบาบิโลนใช้ระบบเลขประจำหลัก ฐานหกสิบ ซึ่งเทียบได้กับเลขฐานสิบของปัจจุบัน แต่มีสัญลักษณ์แทนเลขโดดในแต่ละหลักถึง 60 ตัว ดังนั้นการคูณของชาวบาบิโลนจึงคล้ายกับวิธีการตั้งคูณในปัจจุบัน แต่เนื่องจากเป็นการยากที่จะจดจำผลคูณที่แตกต่างกันทั้งหมด 60 × 60 จำนวน นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนจึงใช้ตารางการคูณ (สูตรคูณ) เข้าช่วย ตารางเหล่านี้ประกอบด้วยรายชื่อของพหุคูณ 20 จำนวนแรกของจำนวนที่สำคัญ n ซึ่งจะได้ n, 2n, ..., 20n ตามด้วยพหุคูณของ 10n นั่นคือ 30n, 40n, และ 50n การคำนวณผลคูณคือการบวกค่าในตารางผลคูณเข้าด้วยกัน เช่น 53n ก็หาได้จากการบวกค่าของ 50n กับ 3n เป็นต้น

[แก้] จีน

ในตำราเรียนคณิตศาสตร์ของจีนชื่อว่า Zhou Pei Suan Ching (周髀算經) เมื่อ 300 ปีก่อนคริสตกาล และหนังสือ The Nine Chapters on the Mathematical Art (九章算術) ได้อธิบายวิธีการคูณโดยการเขียนเป็นตัวหนังสือ ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์ชาวจีนสมัยก่อนจะใช้ลูกคิดคำนวณด้วยมือทั้งการบวกและการคูณ

[แก้] ลุ่มแม่น้ำสินธุ

การคูณระหว่าง 45 กับ 256 สังเกตว่าจำนวน 45 นั้นเรียงกลับหลักกัน ขั้นตอนการทดเลขจะกระทำในขั้นตอนสุดท้าย (ตัวหนา)ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น 45 × 256 = 11520

นักคณิตศาสตร์ชาวฮินดูในอารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุในสมัยก่อน ใช้กลวิธีที่หลากหลายเพื่อคำนวณการคูณ ซึ่งการคำนวณส่วนใหญ่จะทำบนกระดานชนวนขนาดเล็ก เทคนิคหนึ่งที่ใช้กันคือการคูณแลตทิซ (lattice multiplication) เริ่มตั้งแต่การวาดตารางขึ้นมาหนึ่งตาราง กำกับด้วยตัวตั้งและตัวคูณลงบนแถวและหลัก แต่ละช่องจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนตามแนวทะแยง เป็นแลตทิซรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเฉียงเป็นแนวเดียวกันทุกช่อง จากนั้นแต่ละช่องสี่เหลี่ยมให้เขียนผลคูณของเลขโดดที่กำกับไว้ลงไป ผลคูณของจำนวนจะหาได้จากการรวมแถวที่เป็นแนวเฉียงเข้าด้วยกันทีละหลัก

ที่มาจาก http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93

การลบ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา

"5 - 2 = 3"

การลบ (อังกฤษ: Subtraction) ในคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในสี่การดำเนินการพื้นฐานของเลขคณิต มักเขียนแทนด้วยการเติมเครื่องหมายลบ

ชื่อของแต่ละพจน์ของการลบ

c − b = a

คือ ผลลบ (a), ตัวตั้งลบ (c), ตัวลบ (b)

[แก้] การลบพื้นฐาน

นึกภาพเส้นตรงที่มีความยาว b ที่เขียนบนพื้น ซึ่งปลายด้านซ้ายเขียนว่า a และปลายด้านขวาเขียนว่า c
เริ่มต้นที่ตำแหน่ง a ถ้าคุณเดินไปทางขวา b ก้าว คุณจะไปอยู่ตำแหน่งที่ c การเคลื่อนที่ไปทางขวานี้เรียกว่า การบวก สามารถเขียนได้ว่า

a + b = c

จากตำแหน่ง c ถ้าคุณเดินไปทางซ้าย b ก้าว คุณจะไปอยู่ตำแหน่งที่ a การเคลื่อนที่ไปทางซ้ายนี้เรียกว่า การลบ สามารถเขียนได้ว่า

c − b = a

ตอนนี้ นึกภาพเส้นตรงที่เขียนเลข 1, 2 และ 3
จากตำแหน่ง 3 ถ้าคุณไม่เดินเลยสักก้าว คุณจะอยู่ตำแหน่งที่ 3 เหมือนเดิม ดังนั้น

3 − 0 = 3

จากตำแหน่ง 3 ถ้าเดินไปทางซ้ายแค่ 1 คุณจะไปอยู่ตำแหน่งที่ 2 ดังนั้น

3 − 1 = 2

จากตำแหน่ง 3 ถ้าคุณเดินไปทางซ้าย 2 คุณจะไปอยู่ตำแหน่งที่ 1 ดังนั้น

3 − 2 = 1

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเดินไปทางซ้าย 3 ก้าวจากตำแหน่งที่ 3? สำหรับตัวอย่างนี้ คุณจะเดินออกนอกเส้นซึ่งทำไม่ได้ ดังนั้น ถ้าการดำเนินการนี้จะใช้ได้ เส้นจะต้องขยายออกไปกว่านี้
สำหรับการลบของจำนวนธรรมชาติ เส้นจะมีจำนวนธรรมชาติทุกๆจำนวน (0, 1, 2, 3, 4, ...) อยู่บนเส้น
ใช้เส้นจำนวนธรรมชาติ จากตำแหน่งที่ 3 ถ้าคุณเดินไปทางซ้าย 3 ก้าว คุณจะไปถึงตำแหน่งที่ 0 ดังนั้น

3 − 3 = 0

แต่สำหรับจำนวนธรรมชาติ 3 − 4 จะใช้ไม่ได้ตั้งแต่ที่มันเริ่มเดินออกจากเส้น ดังนั้น ถ้าการดำเนินการนี้จะใช้ได้ เส้นจะต้องขยายออกไปกว่านี้
ใช้เส้นจำนวนเต็ม (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …) จากตำแหน่งที่ 3 ถ้าคุณเดินไปทางซ้าย 4 ก้าว คุณจะไปอยู่ที่ตำแหน่งที่ −1 ดังนั้น

3 − 4 = −1

ที่มาจาก http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A5%E0%B8%9A

การบวก

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา

แอปเปิล
3 + 2 = 5 ผล

การบวก คือกระบวนการทางคณิตศาสตร์โดยการรวมสิ่งของเข้าด้วยกัน เครื่องหมายบวก (+) ถูกใช้แทนความหมายของการบวกจำนวนหลายจำนวน จากตัวอย่างภาพทางขวา แอปเปิล 3 + 2 ผล หมายความว่ามีแอปเปิล 3 ผลกลุ่มหนึ่ง และมีแอปเปิล 2 ผลอีกกลุ่มหนึ่ง ซึ่ง 3 + 2 = 5 ดังนั้นจึงเหมือนกับว่ามีแอปเปิล 5 ผล นอกจากการนับจำนวนแล้ว การบวกสามารถนำเสนอได้โดยการรวมกลุ่มปริมาณทางรูปธรรมหรือนามธรรมอื่นๆ โดยใช้ประเภทที่แตกต่างกันของจำนวน เช่น จำนวนลบ เศษส่วน จำนวนตรรกยะ เวกเตอร์ ฯลฯ
ในฐานะของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การบวกดำเนินตามแบบแผนที่สำคัญบางประการ เช่นการบวกมีสมบัติการสลับที่ หมายความว่าลำดับของการบวกนั้นไม่สำคัญ และการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ นั่นคือเราสามารถบวกกันได้มากกว่าสองจำนวน (ดูเพิ่มที่ ผลรวม) การบวกซ้ำๆ ด้วย 1 มีความหมายเหมือนการนับ ในขณะที่การบวกด้วย 0 จะไม่ทำให้จำนวนเปลี่ยนแปลง นอกจากนี้การบวกยังคล้อยตามกฎเกณฑ์ที่ทำนายได้ เกี่ยวกับการดำเนินการที่เกี่ยวข้องเช่นการลบและการคูณ กฎเกณฑ์ทั้งหมดเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ โดยเริ่มต้นจากการบวกของจำนวนธรรมชาติ แล้วขยายขอบเขตออกไปยังจำนวนจริงและสูงขึ้นไป การดำเนินการทวิภาคทั่วไปที่คล้อยตามแบบแผนเหล่านี้ มีการศึกษาในพีชคณิตนามธรรม
การบวกเป็นหนึ่งในงานที่พื้นฐานที่สุดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนตัวเลข การบวกของจำนวนน้อยๆ สามารถเรียนรู้ได้ตั้งแต่ยังเป็นเด็กเล็ก เด็กทารกอายุห้าเดือนรวมทั้งสัตว์บางชนิดก็สามารถรับรู้ว่า 1 + 1 จะได้ผลอะไร ในการเรียนระดับประถมศึกษา เด็กนักเรียนจะได้เรียนรู้การบวกจำนวนในระบบเลขฐานสิบ โดยเริ่มต้นจากจำนวนเลขหลักเดียว และพัฒนาการแก้ปัญหาในระดับที่ยากขึ้น เครื่องกลที่ช่วยคำนวณการบวกก็แตกต่างกันไปตั้งแต่ลูกคิดโบราณจนไปถึงคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ซึ่งการค้นคว้าวิจัยเกี่ยวกับการบวกที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดยังคงดำเนินมาจนถึงทุกวันนี้
สัญกรณ์และศัพทวิทยา

เครื่องหมายบวก

ปกติการบวกเขียนแทนด้วยเครื่องหมายบวก (+) ใส่ไว้ระหว่างพจน์แบบสัญกรณ์เติมกลาง ผลลัพธ์ของการบวกจะถูกแสดงด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=) ตัวอย่างเช่น

1 + 1 = 2 (อ่านว่า หนึ่งบวกหนึ่งเท่ากับสอง)

2 + 2 = 4

5 + 4 + 2 = 11

3 + 3 + 3 + 3 = 12 (ดูเพิ่มที่ การคูณ)

การบวกตามแนวตั้ง 5 + 12 = 17

แต่ก็มีบางสถานการณ์ที่สามารถทำให้เข้าใจได้ว่าเป็นการบวก แม้จะไม่มีเครื่องหมายบวกอยู่ก็ตาม ตัวอย่างเช่น

จำนวนตัวเลขที่เรียงกันตามแนวตั้ง ซึ่งบรรทัดล่างสุดมีขีดเส้นใต้ ปกติแล้วจำนวนจะถูกจัดวางให้ตรงหลักตามแนวตั้งเพื่อบวกเข้าด้วยกัน และผลบวกจะเขียนไว้ที่ใต้จำนวนสุดท้ายนั้น
จำนวนเต็มที่เขียนต่อด้วยเศษส่วนทันที จะให้ผลหมายถึงสองจำนวนนั้นบวกกันเรียกว่า จำนวนคละ (mixed number) ^[1] เช่น 3½ = 3 + ½ = 3.5 แต่สัญกรณ์เช่นนี้อาจทำให้เกิดความสับสนกับการคูณที่ไม่แสดงเครื่องหมาย (juxtaposition) ที่มีใช้ในบริบทอื่นๆ

จำนวนหรือวัตถุที่จะบวกเข้าด้วยกันโดยทั่วไปเรียกว่า พจน์ (term) ตัวบวก (addend) หรือ ส่วนของผลบวก (summand) ซึ่งศัพท์คำสุดท้ายนี้นำไปใช้อธิบายผลรวมของพจน์ที่เป็นพหุคูณ ผู้แต่งตำราบางท่านเรียกตัวบวกจำนวนแรกว่า ตัวตั้งบวก (augend) เนื่องจากข้อเท็จจริงในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ผู้แต่งตำราหลายท่านไม่นับว่าจำนวนแรกในการบวกเป็น "ตัวบวก" แต่ในทุกวันนี้คำว่า "ตัวตั้งบวก" มีการใช้น้อย และทั้งสองคำก็หมายถึงตัวบวกได้เหมือนกัน ^[2]

[แก้] การแปลความหมาย

การบวกใช้สำหรับจำลองกระบวนการทางกายภาพได้อย่างนับไม่ถ้วน แม้แต่กรณีที่ง่ายที่สุดของการบวกจำนวนธรรมชาติ ก็มีการแปลความหมายที่เป็นไปได้มากมาย รวมไปถึงการนำเสนอด้วยภาพ

[แก้] การรวมกลุ่ม

3 + 2 = 5

การแปลความหมายของการบวกในระดับเบื้องต้น สามารถแสดงได้ด้วยการรวมกลุ่มวัตถุเข้าด้วยกัน นั่นคือ

เมื่อวัตถุสองกลุ่มหรือมากกว่าเข้ามารวมกันเป็นกลุ่มเดียว จำนวนวัตถุในกลุ่มเดียวนั้นคือผลรวมของจำนวนวัตถุของแต่ละกลุ่มในตอนแรก

การแปลความหมายเช่นนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพ ซึ่งอาจจะมีความกำกวมบ้างเล็กน้อย ความหมายนี้มีประโยชน์ต่อคณิตศาสตร์ในระดับสูงขึ้นไป โดยเฉพาะการนิยามเป็นต้น อย่างไรก็ตามการอธิบายด้วยการรวมกลุ่มอาจให้ความหมายไม่ชัดเจน เมื่อขยายการบวกออกไปบนเศษส่วนหรือจำนวนลบเป็นอาทิ ^[3]
หนทางหนึ่งที่เป็นไปได้ คือการพิจารณาว่ากลุ่มของวัตถุเหล่านั้นสามารถตัดแบ่งได้โดยง่าย เหมือนกับขนมพายหรือท่อนไม้ ^[4] มากกว่าเพียงแค่การรวมกลุ่มของวัตถุเข้าด้วยกัน เราสามารถนำปลายของท่อนไม้มาต่อกัน เพื่อแสดงอีกแนวความคิดหนึ่งของการบวก นั่นคือการบวกไม่ได้นับที่จำนวนท่อนไม้ แต่หมายถึงความยาวรวมของท่อนไม้

[แก้] การขยายความยาว

2 + 4 = 6

การแปลความหมายอย่างที่สองของการบวก มาจากการต่อความยาวขนาดเริ่มต้น ด้วยความยาวอีกขนาดหนึ่ง นั่นคือ

เมื่อความยาวตั้งต้นถูกขยายโดยปริมาณที่ให้มา ความยาวสุดท้ายคือผลรวมของความยาวตั้งต้นกับความยาวของส่วนที่ขยายออกไป

ผลบวกของ a + b สามารถแปลผลได้ในฐานะของการดำเนินการทวิภาค (ในความคิดทางพีชคณิต) ว่าเป็นการประสานกันระหว่าง a กับ b หรือหมายถึงการเพิ่มจาก a ไปเป็นจำนวน b สำหรับภายใต้การแปลความหมายอย่างหลัง ส่วนต่างๆ ของผลบวก a + b จึงมีบทบาทโดยไม่สมมาตร อาจมองได้ว่าเป็นการดำเนินการเอกภาค "+b" บน a และกรณีเช่นนี้จะถือว่า a เป็นตัวตั้งบวก แทนที่จะเป็นตัวบวกทั้งคู่ การมองให้เป็นการดำเนินการเอกภาคมีประโยชน์สำหรับอธิบายการลบ เพราะว่าการบวกแบบเอกภาคเป็นตัวผกผัน (inverse) ของการลบแบบเอกภาค และในทางกลับกันด้วย

[แก้] สมบัติ

[แก้] การสลับที่

4 + 2 = 2 + 4

การบวกมีสมบัติการสลับที่ หมายความว่าเราสามารถสลับเปลี่ยนจำนวนที่อยู่ข้างซ้ายและขวาของเครื่องหมายบวกได้ โดยผลลัพธ์ยังคงเดิม สมมติให้ a และ b เป็นจำนวนสองจำนวนใดๆ แล้ว

a + b = b + a

ข้อเท็จจริงว่าการบวกสามารถสลับที่ได้ รู้จักกันว่าเป็น กฎการสลับที่ของการบวก ซึ่งวลีนี้ได้ชี้นำว่า ยังมีกฎการสลับที่อื่นๆ อีก ตัวอย่างเช่นกฎการสลับที่ของการคูณเป็นต้น อย่างไรก็ตามการดำเนินการทวิภาคหลายชนิดก็ไม่มีสมบัติการสลับที่ อาทิการลบหรือการหาร จึงนำไปสู่ความเข้าใจผิดว่า กฎการสลับที่ นั้นไม่มีอยู่จริง

[แก้] การเปลี่ยนหมู่

2 + (1 + 3) =
(2 + 1) +3

อีกสมบัติหนึ่งของการบวกคือสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อเราพยายามนิยามการบวกที่ซ้ำๆ กัน อย่างนิพจน์ต่อไปนี้

a + b + c

จะนิยามว่าอย่างไรระหว่าง (a + b) + c หรือ a + (b + c) ในเมื่อการบวกสามารถเปลี่ยนหมู่ได้ ดังนั้นตัวเลือกทั้งสองจึงไม่สำคัญ สำหรับสามจำนวนใดๆ a, b, c ประโยคต่อไปนี้จะเป็นจริง

(a + b) + c = a + (b + c)

ตัวอย่างเช่น (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) แต่ก็ไม่ใช่ทุกการดำเนินการจะมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ดังนั้นในนิพจน์ที่มีการดำเนินการอย่างอื่นเช่นการลบ การระบุอันดับของการดำเนินการ (order of operations) จึงเป็นสิ่งที่สำคัญ

[แก้] ศูนย์และหนึ่ง

5 + 0 = 5

เมื่อบวกศูนย์เข้ากับจำนวนใด ปริมาณที่ได้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากศูนย์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของการบวก หรือเรียกได้ว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก สำหรับค่า a ใดๆ จะได้ว่า

a + 0 = 0 + a = a

กฎนี้ปรากฏเป็นครั้งแรกในตำรา พรัหมสผุฏะ สิทธานตะ (Brahmasphuta-siddhanta) เขียนโดยพรัหมคุปตะ (Brahmagupta) เมื่อ ค.ศ. 628 ถึงแม้ว่าเขาจะเขียนกฎนี้แยกออกมาเป็นสามข้อ โดยขึ้นอยู่กับ a ว่าเป็นจำนวนลบ จำนวนบวก หรือเป็นศูนย์ และเขาใช้ถ้อยคำอธิบายแทนการใช้สัญลักษณ์ ^[5]
ในเวลาต่อมา มหวิระ ได้เรียบเรียงแนวความคิดนั้นเสียใหม่เมื่อประมาณ ค.ศ. 830 โดยเขียนไว้ว่า
"...ศูนย์จะทำให้ตัวอะไรก็ตามที่บวกเข้ามามีค่าเช่นเดิม..."
เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค 0 + a = a ^[5]
และในคริสต์ศตวรรษที่ 12 ภาสกระที่ 2 ก็ได้เขียนเอาไว้ว่า
"...ในการบวกของสิ่งที่ไม่มีค่า [ศูนย์] หรือการลบของมัน ปริมาณ ไม่ว่าจำนวนบวกหรือจำนวนลบ จะยังคงเหมือนเดิม..."
เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค a + 0 = a ^[5]
ในบริบทของจำนวนเต็ม การบวกด้วยหนึ่งจะทำให้เกิดบทบาทพิเศษ นั่นคือสำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ จำนวน a + 1 จะเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า a หรือเรียกได้ว่าเป็น ตัวตามหลัง (successor) ของ a และเนื่องจากการเกิดตัวตามหลังในกรณีเช่นนี้ ผลของ a + b จึงมองได้ว่าเป็นตัวตามหลังตัวที่ b ของ a ซึ่งเกิดจากการบวกด้วยหนึ่งซ้ำๆ กัน

[แก้] หน่วย

เพื่อที่จะบวกปริมาณทางกายภาพซึ่งมีหน่วยกำกับอยู่ ปริมาณเหล่านั้นจะต้องถูกทำให้อยู่ในหน่วยร่วมกันก่อน ตัวอย่างเช่น ระยะความยาว 5 ฟุต และขยายออกไปอีก 2 นิ้ว ผลบวกของความยาวคือ 62 นิ้ว เนื่องจากความยาว 60 นิ้วมีความหมายเหมือนกับความยาว 5 ฟุต ในอีกทางหนึ่ง หน่วยที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ก็จะไม่สามารถรวมกันได้ เช่นการบวกระยะทาง 3 เมตรกับพื้นที่ 4 ตารางเมตร การบวกเช่นนี้จะไร้ความหมาย การพิจารณาว่าหน่วยใดสามารถเปรียบเทียบกันได้ เป็นความรู้พื้นฐานของการวิเคราะห์มิติ (dimensional analysis)

ที่มาจาก http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9A%E0%B8%A7%E0%B8%81